Aturan Cramer dan aplikasinya

aturan Cramer - adalah salah satu metode yang tepat untuk memecahkan sistem linear aljabar persamaan (Slough). keakuratannya karena penggunaan faktor-faktor penentu matriks sistem, serta beberapa pembatasan yang diberlakukan dalam bukti teorema.

Sebuah sistem linear aljabar persamaan dengan koefisien milik, misalnya, pluralitas R - bilangan real yang tidak diketahui x1, x2, ..., xn adalah kumpulan dari ekspresi

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi dengan i = 1, 2, ..., m, (1)

di mana aij, bi - bilangan real. Setiap ekspresi ini disebut persamaan linear, aij - koefisien yang tidak diketahui, bi - koefisien independen persamaan.

larutan (1) disebut vektor n-dimensi x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), di mana substitusi ke dalam sistem untuk diketahui x1, x2, ..., xn, masing-masing baris dalam sistem menjadi persamaan terbaik .

Sistem ini disebut konsisten jika memiliki setidaknya satu solusi, dan tidak konsisten, jika bertepatan dengan solusi set himpunan kosong.

Harus diingat bahwa untuk mencari solusi sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer, sistem matriks harus persegi, yang pada dasarnya berarti jumlah yang sama yang tidak diketahui dan persamaan dalam sistem.

Jadi, menggunakan metode Cramer, Anda harus setidaknya tahu apa Matrix adalah sistem linear aljabar persamaan, dan itu dikeluarkan. Dan kedua, untuk memahami apa yang disebut determinan dari matriks dan keterampilan sendiri perhitungan.

Mari kita berasumsi bahwa pengetahuan ini Anda miliki. Indah! Maka Anda harus hanya menghafal rumus menentukan metode Kramer. Untuk mempermudah menghafal menggunakan notasi berikut:

• Det - penentu utama dari matriks sistem;

• deti - adalah determinan dari matriks yang diperoleh dari matriks utama dari sistem dengan mengganti-i kolom dari matriks ke vektor kolom yang elemen sisi kanan linear aljabar persamaan;

• n - jumlah yang tidak diketahui dan persamaan dalam sistem.

Kemudian Cramer aturan perhitungan-i komponen xi (i = 1, .. n) n-dimensi vektor x dapat ditulis sebagai

xi = deti / Det, (2).

Dalam hal ini, Det ketat berbeda dari nol.

Keunikan solusi dari sistem ketika itu secara bersama-sama disediakan oleh kondisi ketimpangan penentu utama dari sistem ke nol. Jika tidak, jika jumlah (xi), kuadrat, ketat positif, maka SLAE matriks persegi tidak layak. Hal ini dapat terjadi khususnya ketika setidaknya satu dari nol deti.

Contoh 1. Untuk mengatasi sistem LAU tiga dimensi menggunakan rumus Cramer.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Keputusan. Kami menuliskan matriks garis sistem dengan garis, di mana Ai - adalah baris ke-i dari matriks.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolom koefisien bebas b = (31 Okt 29).

Sistem utama adalah penentu Det
Det = a11 a22 a33 + A12 a23 A31 + A31 A21 A32 - A13 a22 A31 - a11 A32 a23 - a33 A21 A12 = 1 - 20 + 12-12 + 2 - 10 = -27.

Untuk menghitung permutasi det1 menggunakan a11 = b1, A21 = b2, A31 = b3. kemudian
det1 = b1 a22 a33 + A12 a23 b3 + A31 b2 A32 - A13 a22 b3 - b1 A32 a23 - a33 b2 A12 = ... = -81.

Demikian pula, untuk menghitung det2 penggunaan substitusi A12 = b1, a22 = b2, A32 = b3, dan, sesuai, untuk menghitung det3 - A13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Kemudian Anda dapat memeriksa bahwa det2 = -108, dan det3 = - 135.
Menurut rumus Cramer menemukan x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Jawaban: x ° = (3,4,5).

Mengandalkan penerapan aturan ini, metode Kramer memecahkan sistem persamaan linear dapat digunakan secara tidak langsung, misalnya, untuk menyelidiki sistem pada jumlah kemungkinan solusi tergantung pada nilai parameter k.

Contoh 2. Untuk menentukan apa nilai-nilai parameter k ketidaksetaraan | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 memiliki tepat satu solusi.

Keputusan.
ketimpangan ini, dengan definisi fungsi modul dapat dilakukan hanya jika kedua ekspresi adalah nol secara bersamaan. Oleh karena itu, masalah ini berkurang untuk menemukan solusi dari linear aljabar persamaan

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Solusi untuk sistem ini hanya jika itu adalah penentu utama dari
Det = k ^ {2} + 1 adalah nol. Jelas bahwa kondisi ini puas untuk semua nilai sebenarnya dari parameter k.

Jawaban: untuk semua nilai sebenarnya dari parameter k.

Tujuan dari jenis ini juga dapat dikurangi banyak masalah praktis di bidang matematika, fisika atau kimia.