Jumlah dari sudut segitiga. Teorema pada jumlah sudut segitiga

segitiga adalah poligon yang memiliki tiga sisi (tiga sudut). Paling sering, bagian dilambangkan dengan huruf kecil sesuai huruf kapital, yang mewakili simpul berlawanan. Pada artikel ini kita melihat pada jenis bentuk geometris, teorema, yang mendefinisikan apa yang sama dengan jumlah sudut segitiga.

Jenis sudut terbesar

Berikut jenis poligon dengan tiga simpul:

• akut-siku, di mana semua sudut yang tajam;
• persegi panjang memiliki satu sudut yang tepat, sisi membentuk itu, disebut kaki, dan sisi yang dibuang berlawanan dengan sudut yang tepat disebut sisi miring;
• tumpul ketika salah satu sudut adalah tumpul ;
• sama kaki, yang dua sisi adalah sama, dan mereka disebut lateral, dan yang ketiga - sebuah segitiga dengan dasar;
• sama sisi memiliki tiga sisi yang sama.

sifat

Mengalokasikan sifat dasar yang merupakan ciri khas dari masing-masing jenis segitiga:

• berlawanan sisi terbesar adalah sudut selalu lebih besar, dan sebaliknya;
• adalah sudut yang sama sebaliknya sama-terbesar partai, dan sebaliknya;
• di segitiga setiap memiliki dua sudut akut;
• sudut luar lebih besar dari setiap sudut internal yang tidak berdekatan dengannya;
• jumlah dari dua sudut selalu kurang dari 180 derajat;
• sudut luar sama dengan jumlah dari dua sudut lainnya, yang tidak mezhuyut dengan dia.

Teorema pada jumlah sudut segitiga

teorema menyatakan bahwa jika Anda menambahkan semua sudut-sudut bentuk geometris, yang terletak pada bidang Euclidean, maka jumlah mereka akan 180 derajat. Mari kita coba untuk membuktikan teorema ini.

Mari kita memiliki segitiga yang sewenang-wenang dengan simpul KMN. Di bagian atas M akan mengadakan paralel langsung ke garis KN (bahkan baris ini disebut Euclid). Perlu dicatat titik A sehingga poin K dan A disusun dari sisi yang berbeda dari garis MN. Kami mendapatkan sudut yang sama dari AMS dan MUF, yang, seperti interior, berbohong melintang untuk membentuk berpotongan MN bersama dengan CN langsung dan MA, yang sejajar. Dari ini mengikuti bahwa jumlah sudut segitiga, yang terletak di simpul dari M dan N adalah sama dengan ukuran sudut CMA. Semua tiga sudut terdiri dari jumlah yang sama dengan jumlah dari sudut KMA dan MCS. Karena data yang sudut internal relatif garis sejajar sisi CL dan CM MA di berpotongan, jumlah mereka adalah 180 derajat. Ini membuktikan teorema.

hasil

Di atas teorema di atas menyiratkan konsekuensi berikut: setiap segitiga memiliki dua sudut akut. Untuk membuktikan ini, mari kita asumsikan bahwa angka geometris ini hanya memiliki satu sudut lancip. Anda juga dapat mengasumsikan bahwa tidak ada sudut-sudut yang tidak tajam. Dalam hal ini harus setidaknya dua sudut, besarnya yang sama dengan atau lebih besar dari 90 derajat. Tapi kemudian jumlah sudut lebih besar dari 180 derajat. Tapi ini tidak bisa, sesuai dengan teorema jumlah sudut segitiga adalah sama dengan 180 ° - tidak lebih, tidak kurang. Itulah yang harus dibuktikan.

Properti sudut luar

Apa adalah jumlah dari sudut segitiga, yang eksternal? Jawaban atas pertanyaan ini dapat diperoleh dengan menerapkan salah satu dari dua cara. Yang pertama adalah bahwa Anda perlu menemukan jumlah sudut, yang diambil satu di setiap titik, yaitu, tiga sudut. Yang kedua menyiratkan bahwa Anda perlu mencari jumlah dari enam sudut di simpul. Untuk menghadapi awal perwujudan pertama. Dengan demikian, segitiga berisi enam sudut luar - di atas masing-masing dua. Setiap pasangan memiliki sudut yang sama di antara mereka, karena mereka adalah vertikal:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Selain itu, diketahui bahwa sudut luar segitiga sama dengan jumlah dari dua interior, yang tidak mezhuyutsya dengan dia. Oleh karena itu,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Dari sini tampak bahwa jumlah sudut eksterior, yang diambil satu per satu di dekat setiap sudut akan sama dengan:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Mengingat fakta bahwa jumlah sudut sama dengan 180 derajat, bisa dikatakan bahwa ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Ini berarti bahwa ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Jika pilihan kedua yang digunakan, jumlah dari enam sudut akan Sejalan lebih besar dua kali. Yaitu jumlah sudut segitiga luar akan:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

segi tiga siku-siku

Apa sama dengan jumlah sudut segitiga siku-siku, adalah pulau? Jawabannya adalah, sekali lagi, dari Teorema, yang menyatakan bahwa sudut segitiga menambahkan hingga 180 derajat. Suara pernyataan kami (properti) sebagai berikut: dalam segitiga siku-siku sudut tajam menambahkan hingga 90 derajat. Kami membuktikan kebenarannya. Biarlah ada diberikan segitiga KMN, yang ∟N = 90 °. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa ∟K ∟M = + 90 °.

Jadi, menurut teorema pada jumlah sudut ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Dalam kondisi ini dikatakan bahwa ∟N = 90 °. Ternyata ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Itulah ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Itulah yang kita harus membuktikan.

Selain sifat di atas segitiga siku-siku, Anda dapat menambahkan ini:

• sudut, yang terletak terhadap kaki yang tajam;
• sisi miring dari segitiga lebih besar dari salah satu kaki;
• jumlah dari kaki lebih dari sisi miring;
• kaki segitiga, yang terletak berlawanan dengan sudut 30 derajat, setengah dari sisi miring, yaitu sebesar setengah nya.

Sebagai properti lain dari bentuk geometris dapat dibedakan teorema Pythagoras. Dia berpendapat bahwa dalam segitiga dengan sudut 90 derajat (persegi panjang), jumlah dari kuadrat dari kaki sama dengan kuadrat dari sisi miring.

Jumlah sudut segitiga sama kaki

Sebelumnya kita mengatakan bahwa segitiga sama kaki adalah poligon dengan tiga simpul, mengandung dua sisi yang sama. Properti ini dikenal sosok geometris: sudut pada dasarnya sama. Mari kita buktikan ini.

Ambil segitiga KMN, yang sama kaki, SC - dasarnya. Kita dituntut untuk membuktikan bahwa ∟K = ∟N. Jadi, mari kita asumsikan MA itu - KMN adalah garis-bagi segitiga kami. ICA segitiga dengan tanda pertama dari kesetaraan adalah segitiga MNA. Yakni, dengan hipotesis mengingat bahwa CM = NM, MA adalah samping yang umum, ∟1 = ∟2, karena MA - garis-ini. Menggunakan persamaan dari dua segitiga, orang dapat berargumentasi bahwa ∟K = ∟N. Oleh karena itu, teorema tersebut terbukti.

Tapi kita tertarik, apa adalah jumlah dari sudut segitiga (sama kaki). Karena dalam hal ini tidak memiliki fitur-fiturnya, kita akan mulai dari teorema dibahas sebelumnya. Artinya, kita dapat mengatakan bahwa ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, atau 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (sebagai ∟K = ∟N). Hal ini tidak akan membuktikan properti, sebagai teorema pada jumlah sudut segitiga terbukti sebelumnya.

Kecuali sifat dianggap satu sudut segitiga, ada juga pernyataan penting seperti:

• di ketinggian segitiga sama sisi, yang telah diturunkan ke dasar, secara bersamaan garis-bagi median dari sudut yang antara sisi sama dan sumbu simetri dari basis;
• median (garis-bagi, ketinggian), yang diadakan untuk sisi sosok geometris, adalah sama.

segitiga sama sisi

Hal ini juga disebut kanan, adalah segitiga, yang sama dengan semua pihak. Dan karena itu juga sama dan sudut. Masing-masing adalah 60 derajat. Mari kita buktikan properti ini.

Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki segitiga KMN. Kita tahu bahwa KM = HM = KH. Ini berarti bahwa, menurut milik sudut yang terletak di dasar di sebuah segitiga sama sisi ∟K = ∟M = ∟N. Karena, menurut jumlah sudut segitiga teorema ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, maka x 3 = 180 ° ∟K atau ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Dengan demikian, pernyataan ini terbukti. Seperti yang terlihat dari bukti-bukti di atas didasarkan pada teorema di atas, jumlah dari sudut dari sebuah segitiga sama sisi, sebagai jumlah sudut dari setiap segitiga lainnya adalah 180 derajat. Sekali lagi membuktikan teorema ini tidak diperlukan.

Masih ada beberapa sifat karakteristik dari sebuah segitiga sama sisi:

• tinggi median garis-bagi dalam sosok geometris yang identik, dan panjang mereka dihitung sebagai (a x √3): 2;
• jika poligon ini circumscribing lingkaran, kemudian jari-jari akan sama dengan (x √3): 3;
• jika tertulis dalam sebuah lingkaran segitiga sama sisi, jari-jarinya akan menjadi (a x √3): 6;
• wilayah sosok geometris dihitung dengan rumus: (a2 x √3): 4.

segitiga tumpul

Menurut definisi, segitiga tumpul-siku, salah satu sudutnya adalah antara 90 hingga 180 derajat. Tetapi mengingat fakta bahwa dua sudut lain dari bentuk geometris yang tajam, dapat disimpulkan bahwa mereka tidak melebihi 90 derajat. Oleh karena itu, jumlah dari sudut Teorema segitiga bekerja dalam menghitung jumlah sudut dalam sebuah segitiga tumpul. Jadi, kita dapat mengatakan, berdasarkan teorema di atas bahwa jumlah sudut tumpul segitiga adalah 180 derajat. Sekali lagi, teorema ini tidak perlu re-bukti.