Pendulum: periode dan percepatan rumus

Sistem mekanis yang terdiri dari titik materi (tubuh), yang menggantung pada filamen inextensible ringan (massanya diabaikan dibandingkan dengan berat tubuh) dalam medan gravitasi seragam, yang disebut pendulum matematika (nama lain - osilator). Ada jenis lain dari perangkat. Alih-alih batang ringan filamen dapat digunakan. Pendulum dapat dengan jelas mengungkapkan esensi dari banyak fenomena yang menarik. Ketika getaran amplitudo kecil geraknya disebut harmonik.

informasi umum tentang sistem mekanik

Rumus dari periode osilasi pendulum dibesarkan Huygens ilmuwan Belanda (1629-1695 gg.). Ini kontemporer Isaac Newton sangat menyukai sistem mekanik. Pada 1656 ia menciptakan jam tangan pertama dengan mekanisme pendulum. Mereka mengukur waktu dengan presisi ekstrim untuk mereka kali. Penemuan ini merupakan langkah besar dalam pengembangan percobaan fisik dan kegiatan praktis.

Jika pendulum berada dalam posisi kesetimbangan (tergantung secara vertikal), yang gaya gravitasi akan seimbang dengan gaya tarik benang. Datar pendulum pada benang non-merenggang adalah sistem dengan dua derajat kebebasan komunikasi. Ketika mengubah hanya salah satu komponen dari mengubah karakteristik semua bagiannya. Misalnya, jika thread diganti dengan tongkat, maka sistem mekanik ini hanya 1 derajat kebebasan. Apa, kemudian, sifat-sifat bandul matematika? Dalam sistem yang sederhana ini, di bawah pengaruh dari gangguan periodik, kekacauan muncul. Dalam hal ini, jika titik suspensi tidak bergerak, dan berosilasi pendulum ada posisi keseimbangan baru. Jika fluktuasi cepat naik dan turun sistem mekanis ini menjadi posisi stabil "terbalik." Ia juga memiliki nama. Hal ini disebut Kapitza pendulum.

Sifat-sifat pendulum

Pendulum memiliki sifat yang sangat menarik. Semua dari mereka yang didukung oleh hukum-hukum fisika terkenal. Periode osilasi pendulum lain tergantung pada berbagai keadaan seperti ukuran dan bentuk tubuh, jarak antara titik suspensi dan pusat gravitasi, distribusi berat sehubungan dengan titik ini. Itulah sebabnya definisi periode menggantung tubuh cukup menantang. Jauh lebih mudah untuk menghitung periode bandul sederhana, rumus yang diberikan di bawah ini. Sebagai hasil dari mengamati pola-pola ini dapat diatur pada sistem mekanis yang sama:

• Jika, sambil mempertahankan panjang yang sama pendulum, diskors dari berbagai beban, periode osilasi mendapatkan yang sama, meskipun berat badan mereka akan sangat bervariasi. Akibatnya, periode pendulum tidak bergantung pada berat beban.

• Jika sistem mulai menurun di pendulum tidak terlalu besar, tetapi sudut yang berbeda, itu akan berfluktuasi dengan periode yang sama, tetapi pada amplitudo yang berbeda. Sementara penyimpangan dari pusat keseimbangan tidak fluktuasi terlalu besar dalam bentuk mereka akan cukup dekat harmonik. Masa pendulum tersebut tidak tergantung pada amplitudo getaran. Properti ini dari sistem mekanik disebut isochronism (dalam bahasa Yunani "chronos" - waktu "Izosov" - sama).

Periode bandul sederhana

Angka ini merupakan periode alami osilasi. Meskipun formulasi yang kompleks, proses itu sendiri sangat sederhana. Jika panjang benang matematika pendulum L, dan percepatan gravitasi g, nilai ini sama:

T = 2π√L / g

periode kecil osilasi alami sekali tidak tidak tergantung pada massa bandul dan amplitudo osilasi. Dalam hal ini, sebagai pendulum matematika bergerak dengan mengurangi panjang.

Osilasi dari pendulum matematika

pendulum matematika berosilasi, yang dapat dijelaskan oleh persamaan diferensial sederhana:

x + ω2 sin x = 0,

di mana x (t) - fungsi yang tidak diketahui (sudut ini defleksi dari posisi yang lebih rendah dari keseimbangan pada saat t, dinyatakan dalam radian); ω - sebuah konstanta positif yang ditentukan dari parameter pendulum (ω = √g / L, di mana g - percepatan gravitasi, dan L - panjang bandul sederhana (suspensi).

Persamaan osilasi kecil dekat posisi kesetimbangan (harmonik persamaan) sebagai berikut:

x + ω2 sin x = 0

gerak osilasi pendulum

Pendulum, yang membuat osilasi kecil, bergerak sinusoid. persamaan diferensial orde kedua memenuhi semua persyaratan dan parameter pergerakan tersebut. Untuk menentukan jalur Anda perlu mengatur kecepatan dan koordinat, yang kemudian ditentukan konstanta independen:

x = A sin (θ ₀ + ωt),

di mana θ ₀ - tahap awal, A - amplitudo osilasi, ω - frekuensi siklik ditentukan dari persamaan gerak.

Pendulum (rumus untuk amplitudo besar)

sistem mekanis ini, melakukan osilasi dengan amplitudo yang besar, itu adalah tunduk pada hukum lalu lintas yang lebih kompleks. mereka dihitung sesuai dengan rumus untuk pendulum seperti:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

di mana sn - sinus Jacobi, yang selama u <1 adalah fungsi periodik, dan untuk u kecil itu bertepatan dengan sinus trigonometri sederhana. Nilai u ditentukan oleh ekspresi berikut:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

dimana ε = E / ML2 (ML2 - energi pendulum).

Penentuan periode osilasi nonlinier pendulum dengan rumus berikut:

T = 2π / Ω,

dimana Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elips integral, π - 3,14.

gerakan pendulum dari separatrix yang

Ini disebut separatrix lintasan sistem yang dinamis, di mana ruang fase dua dimensi. Pendulum bergerak pada non-periodik. Di titik jauh jauh waktu itu turun dari posisi atas ekstrem menuju kecepatan nol, dan kemudian secara bertahap mendapatkan. Dia akhirnya berhenti, kembali ke posisi semula.

Jika amplitudo osilasi bandul mendekati jumlah pi, dikatakan bahwa gerakan pada bidang fase dekat separatrix tersebut. Dalam hal ini, di bawah tindakan kekuatan pendorong periodik kecil dari sistem mekanis menunjukkan perilaku kacau.

Dalam hal bandul sederhana dari posisi kesetimbangan dengan cp sudut terjadi gaya tangensial Fτ = sin -mg φ gravitasi. "Minus" tanda berarti bahwa komponen tangensial diarahkan dalam arah yang berlawanan dari arah penyimpangan pendulum. Ketika mengacu via pendulum perpindahan x sepanjang busur lingkaran dengan radius L adalah sama dengan perpindahan φ sudutnya = x / L. Kedua hukum Isaaka Nyutona, dirancang untuk proyeksi vektor percepatan dan kekuatan memberikan nilai yang diinginkan:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Berdasarkan rasio ini, jelas bahwa pendulum adalah sistem nonlinier, sebagai kekuatan yang cenderung kembali ke posisi keseimbangannya, tidak selalu sebanding dengan perpindahan x, dosa x / L.

Hanya ketika pendulum matematika melakukan getaran kecil, itu adalah osilator harmonik. Dengan kata lain, menjadi sistem mekanik mampu melakukan harmonik osilasi. pendekatan ini berlaku untuk hampir sudut 15-20 °. Pendulum dengan amplitudo besar tidak harmonis.

Hukum Newton untuk osilasi kecil pendulum

Jika sistem mekanik melakukan osilasi kecil, hukum 2 Newton akan terlihat seperti ini:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Atas dasar ini, kita dapat menyimpulkan bahwa percepatan tangensial bandul sederhana sebanding dengan perpindahan dengan tanda "minus". Ini adalah suatu kondisi dimana sistem menjadi osilator harmonik. Modul faktor proporsionalitas antara perpindahan dan percepatan sama dengan kuadrat dari frekuensi sudut:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Formula ini mencerminkan frekuensi alami dari osilasi kecil dari jenis pendulum. Atas dasar ini,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Perhitungan berdasarkan hukum kekekalan energi

Sifat berosilasi gerakan pendulum dapat digambarkan dengan bantuan hukum kekekalan energi. Perlu diingat bahwa energi potensial dari pendulum dalam medan gravitasi adalah:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Penuh energi mekanik sama dengan potensial kinetik dan maksimum: Epmax = Ekmsx = E

Setelah Anda menulis hukum kekekalan energi, mengambil turunan dari sisi kiri dan kanan dari persamaan:

Ep + Ek = const

Karena turunan dari konstanta sama dengan 0, maka (Ep + Ek) '= 0. turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

Oleh karena itu:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

Berdasarkan rumus terakhir, kita menemukan: α = - g / L * x.

aplikasi praktis dari pendulum matematika

Percepatan jatuh bebas bervariasi dengan lintang, karena kepadatan kerak di sekitar planet ini tidak identik. Di mana batu terjadi dengan kepadatan yang lebih tinggi, itu akan sedikit lebih tinggi. Percepatan pendulum matematika sering digunakan untuk eksplorasi. Dalam bantuannya mencari mineral yang berbeda. Hanya menghitung jumlah osilasi pendulum, adalah mungkin untuk mendeteksi batubara atau bijih di dalam perut bumi. Hal ini disebabkan fakta bahwa sumber daya ini memiliki kerapatan dan berat lebih dari berbaring di bawah batu-batu lepas.

pendulum matematika yang digunakan oleh ulama terkemuka seperti Socrates, Aristoteles, Plato, Plutarch, Archimedes. Banyak dari mereka percaya bahwa sistem mekanik dapat mempengaruhi nasib dan kehidupan. Archimedes menggunakan pendulum matematika dengan perhitungan. Saat ini, banyak okultis dan paranormal menggunakan sistem mekanis ini untuk pelaksanaan nubuat nya, atau pencarian orang hilang.

Astronom Perancis terkenal dan ilmuwan, Flammarion untuk penelitian mereka juga menggunakan pendulum matematika. Ia mengklaim bahwa dengan bantuannya ia mampu memprediksi penemuan planet baru, munculnya meteorit Tunguska, dan acara penting lainnya. Selama Perang Dunia II di Jerman (Berlin) bekerja sebagai lembaga khusus pendulum. Saat ini, penelitian tersebut tidak tersedia Munich Institut Parapsikologi. Karyanya dengan pendulum staf lembaga ini disebut "radiesteziey".