Fourier Transform. Fast Fourier transform. Transformasi Fourier diskrit

transformasi Fourier - transformasi, menghubungkan fungsi tertentu dari variabel yang nyata. Operasi ini dilakukan setiap kali kita merasakan suara yang berbeda. Ear menghasilkan otomatis "perhitungan", yang memenuhi kesadaran kita hanya dapat setelah pemeriksaan bagian dari matematika yang lebih tinggi. mendengar organ dalam transformasi manusia membangun, di mana suara (gerak getaran konvensional partikel dalam media elastis, yang merambat dalam bentuk gelombang dalam medium padat, cair atau gas) disediakan dalam rentang nilai berturut-turut tingkat volume nada dari berbagai ketinggian. Setelah ini, otak ternyata informasi ke semua suara familiar.

Matematika Transformasi Fourier

Konversi gelombang suara atau proses lainnya getaran (oleh emisi cahaya dan laut pasang dan untuk siklus bintang atau matahari) dapat dilakukan dan dengan cara metode matematika. Jadi, dengan menggunakan teknik ini, fungsi dapat diperluas dengan memperkenalkan proses getaran mengatur komponen sinusoidal, yaitu kurva bergelombang yang pergi dari minimum ke maksimum dan kemudian lagi untuk minimum, seperti gelombang laut. transformasi Fourier - fungsi transformasi yang menggambarkan fase atau amplitudo masing-masing sinusoid sesuai dengan frekuensi tertentu. Tahap adalah titik awal dari kurva, dan amplitudo - ketinggiannya.

Transformasi Fourier (contoh yang ditampilkan dalam foto) adalah alat yang sangat kuat, yang digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan. Dalam beberapa kasus, digunakan sebagai solusi persamaan yang agak rumit yang menggambarkan proses dinamis yang terjadi di bawah pengaruh cahaya, panas atau energi listrik. Dalam kasus lain, ini memungkinkan Anda untuk menentukan komponen reguler dalam bentuk gelombang kompleks, karena ini bisa benar untuk menafsirkan berbagai pengamatan eksperimental dalam kimia, kedokteran dan astronomi.

informasi sejarah

Orang pertama yang menerapkan metode ini adalah matematikawan Perancis Zhan Batist Fure. Konversi, kemudian dinamai menurut namanya, awalnya digunakan untuk menggambarkan mekanisme konduksi panas. Fourier seluruh kehidupan dewasanya terlibat dalam mempelajari sifat-sifat panas. Dia membuat kontribusi besar untuk teori matematika penentuan akar persamaan aljabar. Fourier adalah seorang profesor analisis di Ecole Polytechnique, Sekretaris Institut Egyptology, adalah layanan kekaisaran, yang menyebabkan kegemparan pada saat pembangunan jalan ke Turin (di bawah kepemimpinannya terkuras lebih dari 80 ribu kilometer persegi rawa malaria). Namun, semua aktivisme ini tidak menghentikan ilmuwan yang terlibat dalam analisis matematis. Pada tahun 1802 itu berasal persamaan yang menggambarkan propagasi panas dalam padatan. Pada tahun 1807, ilmuwan menemukan sebuah metode untuk memecahkan persamaan ini, yang kemudian dikenal sebagai "transformasi Fourier".

analisis konduktivitas termal

Peneliti menggunakan metode matematis untuk menggambarkan mekanisme konduksi panas. Sebuah contoh yang nyaman, dimana ada kesulitan dalam perhitungan adalah penyebaran energi panas oleh cincin besi, salah satu bagian tenggelam dalam api. Untuk melakukan eksperimen Fourier panas bagian merah dari cincin dan menguburkannya di pasir halus. Setelah itu, pengukuran suhu dilakukan pada bagian yang berlawanan daripadanya. Awalnya, distribusi panas tidak teratur: bagian dari cincin - dingin, dan lain - panas, antara zona dapat mengamati gradien suhu yang tajam. Namun, selama distribusi panas di seluruh permukaan logam, menjadi lebih seragam. Jadi, segera, proses ini mengambil bentuk gelombang sinus. grafik pertama secara bertahap meningkat dan juga menurunkan lancar, akurat hukum variasi kosinus atau fungsi sinus. Gelombang secara bertahap menyamakan kedudukan dan sebagai hasilnya suhu menjadi seragam pada seluruh permukaan cincin.

Penulis metode ini diasumsikan bahwa distribusi awal cukup teratur dapat diuraikan menjadi beberapa gelombang sinus SD. Masing-masing akan memiliki fase (posisi awal) dan suhu maksimum. Jadi setiap perubahan komponen tersebut dari minimum untuk maksimal dan kembali untuk menyelesaikan revolusi di sekitar kali bilangan bulat cincin. Komponen memiliki periode yang disebut harmonik fundamental, dan nilai dengan dua atau lebih periode - yang kedua dan seterusnya. Misalnya, fungsi matematika yang menggambarkan suhu maksimum, fase atau posisi yang disebut Transformasi Fourier dari fungsi distribusi. Ilmuwan membawa komponen tunggal yang sulit untuk deskripsi matematika, alat bantu yang mudah digunakan - baris sinus dan cosinus, dalam jumlah memberikan distribusi awal.

Inti dari analisis

Menerapkan analisis ini untuk konversi distribusi panas pada benda padat, memiliki bentuk annular, seorang ahli matematika beralasan bahwa periode peningkatan komponen sinusoidal menyebabkan redaman yang cepat. Hal ini jelas terlihat pada harmonik utama dan kedua. Suhu akhir mencapai dua kali nilai-nilai maksimum dan minimum dalam single pass, dan di pertama - hanya sekali. Ternyata bahwa jarak yang ditempuh oleh panas di harmonik kedua adalah setengah dari inti. Selain itu, gradien babak kedua juga akan lebih curam daripada yang pertama. Oleh karena itu, sejak fluks termal lebih intens melewati janda jarak minimal, maka ini akan teredam harmonik empat kali lebih cepat dari utama, sebagai fungsi waktu. Dalam proses berikut akan lebih cepat. Matematikawan percaya bahwa metode ini memungkinkan kita untuk menghitung proses distribusi awal suhu dengan waktu.

sezaman panggilan

Fourier Transform algoritma telah menjadi tantangan untuk dasar-dasar teoritis matematika pada saat itu. Pada awal abad kesembilan belas, kebanyakan ilmuwan terkemuka, termasuk Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre dan Biot tidak menerima pernyataannya bahwa suhu distribusi awal diuraikan menjadi komponen dalam bentuk gelombang fundamental dan frekuensi yang lebih tinggi. Namun, Academy of Sciences tidak bisa mengabaikan hasil yang diperoleh matematika, dan diberikan kepadanya Hadiah untuk teori konduksi panas dari hukum, serta melakukan perbandingan dengan percobaan fisik. Dalam pendekatan Fourier, keberatan utama adalah kenyataan bahwa fungsi diskontinu diwakili oleh jumlah dari beberapa fungsi sinusoidal, yang terus menerus. Setelah semua, mereka menggambarkan garis meledak lurus dan melengkung. ilmuwan kontemporer belum pernah mengalami situasi seperti itu, ketika fungsi terputus-putus dijelaskan oleh kombinasi terus menerus, seperti kuadrat, linear, sinus atau peserta. Dalam hal matematika benar dalam pernyataannya, jumlah dari seri terbatas dari fungsi trigonometri harus dibatasi dengan kecepatan yang tepat. Sementara klaim seperti itu tampaknya masuk akal. Namun, meskipun keraguan dari beberapa peneliti (misalnya Claude Navier, Sofi Zhermen) memperluas ruang lingkup penelitian dan membawa mereka keluar dari analisis distribusi panas. Sebuah matematika, sementara itu, terus menderita pertanyaan apakah sejumlah beberapa fungsi sinusoidal direduksi menjadi representasi yang tepat meledak.

sejarah 200 tahun

Teori ini telah berkembang selama dua abad, hari ini akhirnya terbentuk. Dengan bantuan fungsi spasial atau temporal dipecah menjadi komponen sinusoidal yang memiliki frekuensi, fase dan amplitudo. Konversi ini diperoleh dengan dua metode matematika yang berbeda. Yang pertama dari mereka digunakan dalam kasus ketika sumber adalah fungsi kontinu, dan yang kedua - dalam kasus di mana ia diwakili oleh sejumlah perubahan individu diskrit. Jika ekspresi diperoleh dari nilai-nilai, yang didefinisikan pada interval diskrit, dapat dibagi menjadi beberapa diskrit frekuensi sinusoidal ekspresi - dari yang terendah dan kemudian dua kali lipat, tiga kali lipat, dan lain sebagainya di atas fundamental. Jumlah ini disebut seri Fourier. Jika ekspresi awal menetapkan nilai setiap bilangan real, dapat dipecah menjadi beberapa sinusoidal semua frekuensi mungkin. Hal ini disebut Fourier integral, dan keputusan menyiratkan transformasi fungsi integral. Terlepas dari metode untuk memperoleh transformasi, untuk setiap frekuensi harus menunjukkan dua angka: amplitudo dan frekuensi. Nilai-nilai ini dinyatakan sebagai satu bilangan kompleks. Ekspresi variabel kompleks teori bersama-sama dengan transformasi Fourier untuk melakukan perhitungan memungkinkan desain berbagai sirkuit listrik, analisis getaran mekanik, studi mekanisme perambatan gelombang dan lain.

Fourier Transform hari ini

Saat ini, studi tentang proses ini pada dasarnya bermuara menemukan metode yang efektif untuk transisi dari fungsi untuk mengkonversi kembali ke pikiran. Solusi ini disebut transformasi Fourier langsung dan terbalik. Apa artinya? Dalam rangka untuk menentukan terpisahkan dan membuat transformasi Fourier langsung, Anda dapat menggunakan metode matematika, tetapi Anda dapat analitik. Terlepas dari kenyataan bahwa ketika mereka digunakan dalam praktek ada beberapa kesulitan, paling integral telah ditemukan dan dimasukkan dalam buku pegangan matematika. Dengan ekspresi bantuan metode numerik dapat dihitung, bentuk yang didasarkan pada data eksperimen, fungsi yang integral dalam tabel hilang, dan mereka sulit untuk membayangkan dalam bentuk analitis.

Sebelum munculnya perhitungan teknik komputer transformasi tersebut telah sangat membosankan, mereka membutuhkan eksekusi petunjuk dari sejumlah besar operasi aritmatika yang bergantung pada jumlah poin yang menggambarkan fungsi gelombang. Untuk memfasilitasi penyelesaian saat ini, ada program khusus, diperbolehkan untuk menerapkan baru metode analisis. Jadi, pada tahun 1965, Dzheyms Kuli dan Dzhon Tyuki menciptakan perangkat lunak yang dikenal sebagai "Fast Fourier Transform". Menghemat waktu perhitungan dengan mengurangi jumlah perkalian dalam analisis kurva. "Fast Fourier Transform" Metode ini didasarkan pada membagi kurva menjadi sejumlah besar nilai-nilai sampel seragam. Dengan demikian, jumlah perkalian berkurang setengahnya pada saat yang sama mengurangi jumlah poin.

Menerapkan Transformasi Fourier

Proses ini digunakan di berbagai bidang: Dalam teori bilangan, fisika, pemrosesan sinyal, kombinatorika, teori probabilitas, kriptografi, statistik, oseanografi, optik, akustik, dan geometri lainnya. kemungkinan kaya untuk penggunaannya didasarkan pada sejumlah fitur yang berguna, yang disebut "sifat dari transformasi Fourier." Mari kita memeriksa mereka.

1. fungsi konversi adalah operator linear dan normalisasi yang sesuai adalah kesatuan. Properti ini dikenal sebagai teorema Parseval, atau dalam kasus umum, teorema Plansherelja atau Pontrjagin dualisme.

2. konversi adalah reversibel. Selain itu, hasil yang berlawanan adalah bentuk dasarnya sama seperti pada langsung menangani.

3. ekspresi dasar sinusoidal adalah fungsi dibedakan mereka sendiri. Ini berarti bahwa perwakilan tersebut berubah persamaan linear dengan koefisien konstan dalam aljabar konvensional.

4. Menurut "konvolusi" teorema, proses membuat operasi kompleks dalam perkalian dasar.

5. Discrete Fourier Transform dapat dengan cepat dirancang pada komputer dengan menggunakan metode "cepat".

Variasi dari Fourier transform

1. Paling sering istilah ini digunakan untuk merujuk kepada transformasi terus menerus, memberikan ekspresi kuadratik terintegral sebagai jumlah dari ekspresi eksponensial kompleks dengan frekuensi sudut tertentu dan amplitudo. Spesies ini memiliki beberapa bentuk yang berbeda, yang mungkin koefisien konstan yang berbeda. Metode terus menerus termasuk tabel konversi, yang dapat ditemukan di buku pegangan matematika. Kasus umum adalah konversi pecahan, dimana proses ini dapat diangkat ke kekuatan nyata yang diinginkan.

2. Metode terus menerus adalah generalisasi dari teknik sebelumnya seri Fourier didefinisikan untuk setiap fungsi periodik atau ekspresi, yang ada di daerah terbatas dan mewakili mereka sebagai rangkaian sinusoid.

3. Discrete Fourier transform. Metode ini digunakan dalam menghitung untuk perhitungan ilmiah dan pemrosesan sinyal digital. Untuk melaksanakan jenis perhitungan yang diperlukan untuk memiliki fungsi menentukan pada satu set diskrit poin individu, wilayah periodik atau terbatas bukan integral Fourier kontinu. konversi sinyal dalam hal ini diwakili sebagai jumlah sinusoid. Penggunaan metode "cepat" memungkinkan penggunaan solusi digital untuk semua tujuan praktis.

4. Jendela transformasi Fourier adalah pandangan umum dari metode klasik. Tidak seperti solusi standar ketika spektrum sinyal yang digunakan, yang diambil dalam berbagai keberadaan variabel ini adalah kepentingan tertentu di sini adalah hanya distribusi frekuensi lokal sambil mempertahankan variabel asli (waktu).

5. Fourier dua dimensi transformasi. Metode ini digunakan untuk bekerja dengan dua dimensi array data. Dalam kasus seperti itu, konversi dilakukan dalam satu arah, dan kemudian - yang lain.

kesimpulan

Saat ini, metode Fourier tertanam kuat dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan. Sebagai contoh, pada tahun 1962 dibuka bentuk DNA helix ganda menggunakan analisis Fourier dalam hubungannya dengan difraksi sinar-X. kristal baru-baru ini difokuskan pada serat DNA, menghasilkan gambar yang diperoleh dengan difraksi, direkam pada film. Gambar ini memberikan informasi tentang nilai amplitudo dengan menggunakan transformasi Fourier untuk struktur kristal ini. Data fase diperoleh dengan membandingkan kartu difraksi DNA dengan kartu yang diperoleh dalam analisis struktur kimia yang mirip. Akibatnya, ahli biologi dipulihkan struktur kristal - fungsi asli.

Transformasi Fourier memainkan peran besar dalam studi luar angkasa, fisika bahan semikonduktor dan plasma, akustik microwave, oseanografi, radar, seismologi dan pemeriksaan kesehatan.