Persamaan dari pesawat: bagaimana membuat? Jenis persamaan Pesawat

Pesawat ruang angkasa dapat didefinisikan dengan cara yang berbeda (satu titik dan vektor, vektor dan dua poin, tiga poin, dll). Hal ini dengan pemikiran ini, persamaan pesawat dapat memiliki berbagai jenis. Juga dalam kondisi tertentu pesawat mungkin paralel, tegak lurus, berpotongan, dll Pada ini dan akan berbicara dalam artikel ini. Kita akan belajar untuk membuat persamaan umum dari pesawat dan tidak hanya.

Bentuk normal dari persamaan

Misalkan R adalah ruang _3, yang memiliki persegi panjang sistem koordinat XYZ. Kami mendefinisikan α vektor, yang akan dirilis dari titik awal O. Melalui akhir α vektor menarik pesawat P yang tegak lurus untuk itu.

Menunjukkan P pada sembarang titik Q = (x, y, z). Radius vektor dari titik Q surat tanda p. Panjang vektor sama dengan α p = IαI dan Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

vektor satuan ini, yang diarahkan ke arah sebagai vektor α. α, β dan γ - adalah sudut yang terbentuk antara vektor dan arah positif Ʋ sumbu ruang x, y, z masing-masing. Proyeksi titik pada vektor QεP Ʋ adalah sebuah konstanta yang sama dengan p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Persamaan di atas adalah berarti ketika p = 0. Satu-satunya pesawat P dalam hal ini akan melintasi titik O (α = 0), yang merupakan asal, dan Ʋ vektor satuan, dibebaskan dari titik O, akan tegak lurus terhadap P, meskipun arahnya, yang berarti bahwa Ʋ vektor ditentukan sampai tanda. persamaan sebelumnya adalah pesawat P kami, dinyatakan dalam bentuk vektor. Tapi dalam pandangan koordinat adalah:

P lebih besar dari atau sama dengan 0. Kami telah menemukan persamaan pesawat dalam bentuk normal.

Persamaan umum

Jika persamaan di koordinat kalikan dengan nomor yang tidak sama dengan nol, kita memperoleh persamaan setara dengan ini yang mendefinisikan sangat pesawat. Ini akan memiliki bentuk berikut:

Di sini, A, B, C - adalah jumlah bersamaan berbeda dari nol. Persamaan ini disebut persamaan bentuk umum dari pesawat.

Persamaan dari pesawat. kasus khusus

persamaan umumnya dapat dimodifikasi dengan ketentuan tambahan. Pertimbangkan beberapa dari mereka.

Asumsikan bahwa koefisien A adalah 0. Hal ini menunjukkan bahwa pesawat sejajar dengan Ox sumbu yang telah ditentukan. Dalam hal ini, bentuk persamaan perubahan: Wu + Cz + D = 0.

Demikian pula, bentuk persamaan dan akan bervariasi dengan ketentuan sebagai berikut:

• Pertama, jika B = 0, perubahan persamaan untuk Ax + Cz + D = 0, yang akan menunjukkan paralelisme dengan sumbu Oy.
• Kedua, jika C = 0, persamaan berubah menjadi Ax + By + D = 0, yang mengatakan tentang sejajar dengan sumbu yang telah ditentukan Oz.
• Ketiga, jika D = 0, persamaan akan muncul sebagai Ax + By + Cz = 0, yang berarti bahwa pesawat memotong O (asal).
• Keempat, jika A = B = 0, perubahan persamaan untuk Cz + D = 0, yang akan terbukti paralelisme Oxy.
• Kelima, jika B = C = 0, persamaan menjadi Ax + D = 0, yang berarti bahwa pesawat sejajar dengan Oyz.
• Keenam, jika A = C = 0, persamaan mengambil bentuk Wu + D = 0, yaitu, akan melaporkan kepada Oxz paralelisme.

Bentuk persamaan di segmen

Dalam kasus di mana nomor A, B, C, D berbeda dari nol, bentuk persamaan (0) mungkin sebagai berikut:

x / a + y / b + z / c = 1,

dimana = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Kami menerima sebagai persamaan hasil dari pesawat di potong. Perlu dicatat bahwa pesawat ini akan memotong sumbu x pada titik dengan koordinat (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), dan Oz - (0,0, s).

Mengingat persamaan x / a + y / b + z / c = 1, tidak sulit untuk memvisualisasikan pesawat penempatan relatif terhadap sistem yang telah ditentukan koordinat.

Koordinat vektor normal

Vektor normal n terhadap bidang P memiliki koordinat yang merupakan koefisien dari persamaan umum dari pesawat, yaitu n (A, B, C).

Dalam rangka untuk menentukan koordinat n normal, itu sudah cukup untuk mengetahui persamaan umum yang diberikan pesawat.

Bila menggunakan persamaan di segmen, yang memiliki bentuk x / a + y / b + z / c = 1, seperti ketika menggunakan persamaan umum dapat koordinat setiap vektor normal ditulis pesawat yang diberikan: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Perlu dicatat bahwa vektor normal membantu untuk memecahkan berbagai masalah. Masalah yang paling umum yang terdiri dalam pesawat tegak lurus atau paralel bukti, tugas mencari sudut antara pesawat atau sudut antara pesawat dan garis lurus.

Ketik menurut persamaan pesawat dan koordinat titik vektor normal

Sebuah vektor n nol, tegak lurus dengan pesawat tertentu, disebut normal (normal) untuk pesawat yang telah ditentukan.

Misalkan dalam ruang koordinat (persegi panjang sistem koordinat) Oxyz set:

• Titik Mₒ dengan koordinat (hₒ, uₒ, zₒ);
• vektor nol n = A * i + B * j + C * k.

Anda perlu membuat persamaan dari pesawat yang melewati titik Mₒ tegak lurus terhadap n normal.

Di ruang kita memilih titik sembarang dan menunjukkan M (x, y, z). Biarkan vektor jari-jari masing-masing titik M (x, y, z) akan r = x * i + y * j + z * k, dan vektor radius dari Mₒ titik (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Titik M akan menjadi milik pesawat diberikan, jika MₒM vektor tegak lurus terhadap vektor n. Kami menulis kondisi orthogonality menggunakan produk skalar:

[MₒM, n] = 0.

Sejak MₒM = r-rₒ, persamaan vektor dari pesawat akan terlihat seperti ini:

[R - rₒ, n] = 0.

Persamaan ini juga dapat memiliki bentuk lain. Untuk tujuan ini, sifat dari produk skalar, dan diubah sisi kiri persamaan. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Jika [rₒ, n] dilambangkan sebagai s, kita mendapatkan persamaan berikut: [r, n] - a = 0 atau [r, n] = s, yang menyatakan keteguhan dari proyeksi pada vektor normal dari radius-vektor dari titik yang diberikan milik pesawat.

Sekarang Anda bisa mendapatkan koordinat jenis rekaman pesawat persamaan vektor kami [r - rₒ, n] = 0. Karena r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, dan n = A * i + B * j + C * k, kita memiliki:

Ternyata bahwa kita memiliki persamaan dibentuk bidang yang melewati titik tegak lurus terhadap n yang normal:

A * (x hₒ) + B (y uₒ) S (z-zₒ) = 0.

Ketik menurut persamaan pesawat dan koordinat dua poin dari collinear pesawat vektor

Kita mendefinisikan dua poin sewenang-wenang M '(x', y 'z') dan M "(x", y", z "), serta vektor (a', sebuah", ‴ a).

Sekarang kita dapat menulis persamaan yang telah ditentukan pesawat yang melewati titik M yang ada 'dan M", dan setiap titik dengan M koordinat (x, y, z) sejajar dengan vektor yang diberikan.

Jadi vektor M'M x = {x 'y-y'; zz '} dan M "M = {x" x', y 'y'; z "-z '} harus coplanar dengan vektor a = (a', sebuah "‴ a), yang berarti bahwa (M'M M" M, a) = 0.

Jadi persamaan kami dari pesawat di ruang akan terlihat seperti ini:

Jenis persamaan pesawat, melintasi tiga poin

Katakanlah kita memiliki tiga poin: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x ‴ Memiliki ‴, z ‴), yang tidak termasuk ke dalam baris yang sama. Hal ini diperlukan untuk menulis persamaan dari bidang yang melewati tiga poin yang ditentukan. Teori geometri berpendapat bahwa jenis pesawat tidak ada, itu hanya satu-satunya. Karena pesawat ini memotong titik (x 'y', z '), bentuk persamaan nya akan menjadi:

Di sini, A, B, dan C berbeda dari nol pada saat yang sama. Juga Pesawat diberikan memotong dua poin lebih (x "y", z ") dan (x ‴, y ‴, z ‴). Dalam hubungan ini harus dilakukan semacam ini kondisi:

Sekarang kita dapat membuat sistem yang seragam dari persamaan (linear) dengan tidak diketahui u, v, w:

Dalam kasus kami x, y atau z berdiri titik sembarang yang memenuhi persamaan (1). Mengingat persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3) sistem persamaan ditunjukkan pada gambar di atas, memenuhi vektor N (A, B, C) yang trivial. Hal ini karena determinan dari sistem adalah nol.

Persamaan (1) bahwa kita punya, ini adalah persamaan dari pesawat. 3 titik dia benar-benar pergi, dan sangat mudah untuk memeriksa. Untuk melakukan hal ini, kami memperluas determinan oleh unsur-unsur pada baris pertama. Sifat yang ada penentu berikut bahwa pesawat kami secara bersamaan memotong tiga titik awalnya telah ditentukan (x 'y', z '), (x "y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Jadi kami memutuskan untuk tugas di depan kami.

sudut dihedral antara pesawat

sudut dihedral adalah bentuk geometris spasial yang dibentuk oleh dua setengah pesawat yang berasal dari garis lurus. Dengan kata lain, bagian dari ruang yang terbatas pada setengah-pesawat.

Misalkan kita memiliki dua pesawat dengan persamaan berikut:

Kita tahu bahwa vektor N = (A, B, C) dan N¹ = (A¹, H¹, S¹) menurut bidang yang telah ditentukan tegak lurus. Dalam hal ini, sudut φ antara vektor N dan N¹ sudut sama (dihedral), yang terletak antara pesawat ini. Produk skalar diberikan oleh:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

justru karena

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (ï¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (² + s ² + V ²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Hal ini cukup untuk mempertimbangkan 0≤φ≤π itu.

Sebenarnya dua pesawat yang bersinggungan, bentuk dua sudut (dihedral): φ ₁ dan φ _2. jumlah mereka sama dengan π (φ ₁ + φ ₂ = π). Adapun cosinus mereka, nilai absolut mereka adalah sama, tetapi mereka tanda-tanda yang berbeda, yaitu, cos φ ₁ = -cos φ _2. Jika dalam persamaan (0) digantikan oleh A, B dan C dari A, -B dan -C masing-masing, persamaan, kita memperoleh, akan menentukan bidang yang sama, satu-satunya sudut φ di cos persamaan φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Ini akan digantikan oleh π-φ.

Persamaan dari pesawat tegak lurus

Disebut tegak lurus pesawat, antara yang sudut adalah 90 derajat. Menggunakan materi yang disampaikan di atas, kita dapat menemukan persamaan dari bidang tegak lurus ke yang lain. Misalkan kita memiliki dua pesawat: Ax + By + Cz + D = 0, dan + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Kita dapat mengatakan bahwa mereka adalah ortogonal jika cos = 0. Ini berarti bahwa NN¹ = ï¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Persamaan pesawat paralel

Ini disebut dua pesawat paralel yang tidak mengandung poin yang sama.

Kondisi pesawat yang paralel (persamaan mereka adalah sama seperti pada paragraf sebelumnya) adalah bahwa vektor N dan N¹, yang tegak lurus terhadap mereka, collinear. Ini berarti bahwa kondisi berikut ini terpenuhi proporsionalitas:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Jika istilah proporsional diperluas - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

ini menunjukkan bahwa pesawat data yang sama. Ini berarti bahwa persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dan + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 menggambarkan satu pesawat.

Jarak dari titik ke pesawat

Misalkan kita memiliki sebuah pesawat P, yang diberikan oleh (0). Hal ini diperlukan untuk menemukan jarak dari titik dengan koordinat (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Anda perlu membawa persamaan pada bidang II penampilan normal untuk membuatnya:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Dalam hal ini, ρ (x, y, z) adalah vektor radius titik Q kami, terletak di n p - n adalah panjang tegak lurus, yang dirilis dari titik nol, v - adalah vektor satuan, yang diatur dalam arah a.

Perbedaan ρ-ρº vektor radius dari titik Q = (x, y, z), milik n dan vektor radius dari titik tertentu Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) adalah vektor seperti itu, nilai absolut dari proyeksi yang pada v sama dengan jarak d, yang diperlukan untuk menemukan dari Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) ke P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, tapi

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Jadi ternyata,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Sekarang jelas bahwa untuk menghitung jarak d dari ₀ ke Q pesawat P, perlu untuk menggunakan yang normal persamaan pandangan pesawat, pergeseran ke kiri p, dan tempat terakhir dari x, y, z pengganti (hₒ, uₒ, zₒ).

Dengan demikian, kita menemukan nilai absolut dari ekspresi yang dihasilkan yang diperlukan d.

Menggunakan parameter bahasa, kita mendapatkan jelas:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (² + V ² + s ²).

Jika ditentukan titik Q ₀ adalah di sisi lain dari pesawat P sebagai asal, maka antara vektor ρ-ρ ⁰ dan v adalah sudut tumpul, sehingga:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) p> 0.

Dalam kasus ketika titik Q ₀ dalam hubungannya dengan asal terletak di sisi yang sama dari U, sudut akut dibuat, yaitu:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Hasilnya adalah bahwa dalam kasus mantan (ρ ^0, v)> p, di kedua (ρ ^0, v)

Dan persamaan bidang singgung nya

Mengenai pesawat ke permukaan pada titik singgung Mº - pesawat yang berisi semua mungkin bersinggungan dengan kurva yang ditarik melalui titik di permukaan.

Dengan bentuk permukaan ini dari persamaan F (x, y, z) = 0 dalam persamaan titik bidang singgung singgung Mº (hº, uº, zº) akan menjadi:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Jika permukaan diatur secara eksplisit z = f (x, y), maka bidang singgung digambarkan oleh persamaan:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Persimpangan dua pesawat

Dalam ruang tiga dimensi adalah sistem koordinat (persegi panjang) Oxyz, diberikan dua pesawat P 'dan P' yang tumpang tindih dan tidak sesuai. Karena setiap pesawat, yang dalam segi empat sistem koordinat didefinisikan oleh persamaan umum, kita mengasumsikan bahwa n 'dan n "didefinisikan oleh persamaan A' X + V'u S'z + + D'= 0 dan A" + B x' + y dengan "z + D" = 0. Dalam hal ini kita memiliki n normal '(A', B 'C') dari pesawat P 'dan n normal "(A", B "C") dari pesawat P'. Seperti pesawat kami tidak sejajar dan tidak sesuai, maka vektor ini tidak collinear. Menggunakan bahasa matematika, kita memiliki kondisi ini dapat ditulis sebagai: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * Dan", λ * Dalam "λ * C"), λεR. Biarkan garis lurus yang terletak di persimpangan P 'dan P", akan dilambangkan dengan huruf a, dalam hal ini = P' ∩ P".

dan - garis yang terdiri dari sejumlah poin (umum) pesawat P 'dan P". Ini berarti bahwa koordinat setiap titik milik garis, harus secara simultan memenuhi persamaan A 'X + V'u S'z + + D '= 0 dan A "x + B' + C y" z + D "= 0. Ini berarti bahwa koordinat titik akan menjadi solusi tertentu dari persamaan berikut:

Hasilnya adalah bahwa solusi (keseluruhan) dari sistem ini persamaan akan menentukan koordinat masing-masing titik pada garis yang akan bertindak sebagai titik persimpangan P 'dan P", dan menentukan garis dalam sistem koordinat Oxyz (persegi panjang) ruang.