Apa adalah bilangan bulat positif? Sejarah, ruang lingkup, karakteristik

Matematika dipisahkan dari filsafat umum tentang abad keenam SM. e., dan dari saat itu mulai Maret kemenangan di seluruh dunia. Setiap tahap perkembangan membawa sesuatu yang baru - sebuah SD rekening berkembang, berubah menjadi diferensial dan kalkulus integral, abad alternatif yang lebih, formula menjadi lebih membingungkan, dan datang suatu waktu ketika "awal matematika paling sulit -. Itu menghilang dari semua nomor" Tapi apa di balik?

Titik awal

Bilangan yang setara dengan operasi matematika pertama. Setelah kembali, dua kembali, tiga tulang belakang ... Mereka muncul berkat ilmuwan India yang pertama kali membawa posisi sistem nomor. Kata "posisional" berarti bahwa lokasi setiap digit di nomor ketat didefinisikan dan sesuai dengan kategorinya. Sebagai contoh, nomor 784 dan 487 - jumlahnya sama, namun jumlahnya tidak sama dengan mantan meliputi 7 ratusan, sedangkan yang kedua - hanya 4. Inovasi India mengambil orang-orang Arab, yang dibesarkan jumlah spesies yang kita kenal sekarang.

Pada zaman kuno, nomor terpasang signifikansi mistis, matematikawan terbesar Pythagoras percaya bahwa angka tersebut di jantung penciptaan setara dengan unsur-unsur dasar - api, air, tanah, udara. Jika kita mempertimbangkan semua hanya dengan sisi matematika, maka itu adalah bilangan bulat positif? Bidang bilangan dilambangkan sebagai N dan merupakan seri terbatas dari nomor yang adalah bilangan bulat positif dan 1, 2, 3, ... + ∞. Nol dikecualikan. Terutama digunakan untuk menghitung item dan menentukan pesanan.

Apa yang dimaksud dengan nomor alam dalam matematika? aksioma Peano

Bidang N adalah dasar yang terletak matematika dasar. Seiring waktu, bilangan bulat bidang terisolasi, bilangan rasional, bilangan kompleks.

Karya matematikawan Italia Dzhuzeppe Peano dimungkinkan penataan lebih lanjut dari aritmatika, telah membuatnya formalitas dan mempersiapkan tanah untuk kesimpulan lebih lanjut yang melampaui N. daerah medan Apa yang nomor alam, telah ditemukan sebelumnya dalam bahasa yang sederhana, berikut ini akan dipertimbangkan atas dasar definisi matematika dari aksioma Peano.

• Unit dianggap sebagai nomor alami.
• Jumlah yang mengikuti nomor alam, adalah alami.
• Sebelum unit ada nomor alami.
• Jika jumlah b harus baik jumlah c, dan jumlah d, maka c = d.
• Aksioma induksi, yang pada gilirannya menunjukkan bahwa sejumlah alami, jika pernyataan yang tergantung pada parameter benar untuk nomor 1, maka kita berasumsi bahwa ia bekerja untuk sejumlah n dari bidang bilangan N. Kemudian pernyataan tersebut benar untuk n = 1 dari bidang bilangan N.

operasi dasar untuk bidang bilangan

Karena medan N adalah yang pertama untuk perhitungan matematis, itu harus diperlakukan sebagai domain dari definisi, dan area di bawah jumlah nilai transaksi. Mereka ditutup dan tidak ada. Perbedaan utama adalah bahwa operasi dijamin untuk meninggalkan hasil tertutup dalam set N, terlepas dari apa nomor yang terlibat. Hal ini cukup bahwa mereka alami. Hasil dari interaksi numerik yang tersisa tidak sesederhana dan tergantung pada fakta bahwa bagi mereka yang terlibat dalam ekspresi, karena mungkin bertentangan dengan definisi dasar. Dengan demikian, operasi tertutup:

• Selain - x + y = z, di mana x, y, z adalah dari lapangan N;
• perkalian - x * y = z, di mana x, y, z adalah dari lapangan N;
• exponentiation - x ^y, di mana x, y adalah dari N. Lapangan

Operasi yang tersisa, hasil yang tidak bisa eksis dalam penentuan konteks "yang merupakan nomor alam" sebagai berikut:

• Pengurangan - x - y = z. Lapangan nomor alami memungkinkan hanya jika semakin lama x y;
• Divisi - x / y = z. Lapangan nomor alami memungkinkan hanya jika z dibagi oleh y tidak ada residu, yaitu secara merata.

Sifat angka, milik bidang N

Semua penalaran matematika lebih lanjut akan didasarkan pada sifat ini, yang paling sepele, namun tidak kurang penting.

• properti komutatif penambahan - x + y = y + x, di mana jumlah x, y termasuk dalam kotak N. Atau terkenal "dari relokasi jumlah tidak berubah."
• properti komutatif perkalian - x * y = y * x, di mana angka-angka x, y adalah dari N. Lapangan
• properti asosiatif Selain - (x + y) + z = x + (y + z), di mana x, y, z adalah dari N. Lapangan
• properti asosiatif perkalian - (x * y) * z = x * (y * z), di mana angka-angka x, y, z adalah dari N. Lapangan
• properti distributif - x (y + z) = x * y + x * z, di mana angka-angka x, y, z adalah dari N. Lapangan

Tabel Pythagoras

Salah satu langkah pertama dalam pengetahuan siswa di seluruh struktur matematika dasar setelah mereka mengerti untuk diri mereka sendiri nomor apa yang disebut alam, ini adalah tabel Pythagoras. Hal ini dapat dianggap tidak hanya dari sudut pandang ilmu pengetahuan, tetapi juga sebagai monumen ilmiah yang berharga.

tabel perkalian ini telah mengalami sejumlah perubahan dari waktu ke waktu: itu dihapus dari nol, dan angka-angka dari 1 sampai 10 berdiri untuk diri mereka sendiri, tidak termasuk lipat (ratusan, ribuan ...). Ini adalah tabel di mana judul baris dan kolom - jumlah dan isi sel persimpangan adalah sama dengan produk mereka sendiri.

Dalam praktek melatih beberapa dekade terakhir ada kebutuhan untuk belajar Pythagoras meja "agar", yaitu, pertama mulai menghafal. Perkalian 1 dihilangkan, karena hasilnya adalah sama dengan 1 atau lebih besar faktor. Sementara itu, dalam tabel dapat dilihat dengan pola mata telanjang: produk dari angka meningkat satu langkah, yang sama judul tali. Dengan demikian, faktor kedua menunjukkan berapa kali Anda perlu mengambil yang pertama, untuk mendapatkan produk yang diinginkan. Sistem ini tidak seperti yang lebih nyaman yang dipraktekkan di Abad Pertengahan: bahkan mengetahui bahwa adalah bilangan bulat positif, dan bagaimana hal itu sepele, orang berhasil mempersulit diri Anda sehari-hari dengan menggunakan sistem yang didasarkan pada derajat dua.

Sebuah subset sebagai tempat lahir matematika

Saat ini, bidang bilangan N dianggap hanya sebagai salah satu himpunan bagian dari bilangan kompleks, tetapi tidak membuat mereka kurang berharga dalam ilmu. nomor alam - hal pertama bahwa seorang anak belajar dengan mempelajari diri kita sendiri dan dunia di sekitar kita. Setelah jari, dua jari ... Berkat dia, seorang pria yang dibentuk oleh pemikiran logis, serta kemampuan untuk menentukan penyebab dan konsekuensi dari output, membuka jalan bagi penemuan besar.