Apa aritmatika? teorema dasar aritmatika. aritmatika biner

Apa aritmatika? Ketika manusia mulai menggunakan angka dan bekerja dengan mereka? Di mana akar-akarnya dari konsep sehari-hari seperti angka, pecahan, pengurangan, penambahan dan perkalian, orang yang telah membuat bagian integral dari kehidupan dan pandangannya? pikiran Yunani mengagumi ilmu-ilmu seperti matematika, aritmatika dan geometri, sebagai simfoni yang indah dari logika manusia.

Mungkin matematika tidak sedalam ilmu-ilmu lainnya, tetapi apa yang akan terjadi pada mereka, orang lupa tabel perkalian SD? Akrab bagi kita berpikir logis, menggunakan angka, pecahan, dan alat-alat lain untuk memberikan orang waktu yang sulit, dan untuk waktu yang lama tidak tersedia untuk nenek moyang kita. Bahkan, sebelum pengembangan aritmatika ada daerah pengetahuan manusia tidak benar-benar ilmiah.

Aritmatika - Matematika adalah alfabet

Arithmetic - ilmu angka, dengan mana setiap individu dimulai kenalan dengan dunia menarik matematika. Dalam kata-kata M. V. Lomonosov, aritmatika - ini adalah pintu gerbang belajar, membuka jalan bagi kita untuk Miropoznanie. Tapi dia benar, adalah pengetahuan tentang dunia dapat dipisahkan dari pengetahuan huruf dan angka, matematika dan pidato? Mungkin di hari tua, tapi tidak dalam dunia modern, di mana pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi membuat hukum sendiri.

Kata "aritmatika" (Yun. "Arifmos") asal Yunani, berarti "angka". Mengkaji jumlah dan semua yang dapat dikaitkan dengan mereka. Ini adalah dunia nomor: berbagai operasi pada nomor, aturan numerik, tugas-tugas yang berkaitan dengan perkalian, pengurangan, dan sebagainya ..

Hal ini berlaku umum bahwa langkah awal adalah Matematika aritmatika dan dasar yang kokoh untuk yang lebih kompleks bagian, seperti aljabar, analisis matematika, matematika yang lebih tinggi dan t. D.

Tujuan utama dari aritmatika

Dasar aritmatika - adalah bilangan bulat, sifat dan hukum yang dianggap aritmatika tertinggi atau nomor teori. Bahkan, bagaimana pendekatan yang tepat diambil dalam pertimbangan seperti unit kecil, sebagai nomor alam bergantung pada kekuatan bangunan - matematika.

Oleh karena itu, pertanyaan itu adalah aritmatika, jawabannya adalah sederhana: itu adalah ilmu nomor. Ya, tentang biasa tujuh, sembilan, dan semua masyarakat yang beragam ini. Dan juga, dan ayat-ayat yang paling biasa-biasa saja tidak bisa menulis tanpa huruf dasar, tanpa aritmatika tidak dapat diselesaikan tugas bahkan dasar. Itu sebabnya semua ilmu telah maju setelah perkembangan aritmatika dan matematika, yang terutama seperangkat asumsi.

Aritmatika - ilmu-hantu

Apa aritmatika - ilmu alam atau hantu? Bahkan, sebagai filsuf Yunani kuno beralasan, tidak ada nomor, tidak ada tokoh dalam kenyataannya tidak ada. Ini hanya hantu, yang dibuat dalam pemikiran manusia saat melihat lingkungan dan proses-prosesnya. Bahkan, apa nomor? Tempat di sekitar kita tidak melihat sesuatu seperti itu bisa disebut nomor, bukan, jumlah - itu adalah cara untuk menjelajahi dunia dari pikiran manusia. Mungkin penelitian ini kami memiliki di dalam diri mereka sendiri? Filsuf berdebat tentang hal ini selama berabad-abad berturut-turut, sehingga untuk memberikan jawaban lengkap kita tidak melakukan. Either way, aritmatika bisa jadi tegas mengambil posisi mereka di dunia modern tidak ada yang bisa dianggap secara sosial diadaptasi tanpa sepengetahuan fondasinya.

Karena ada bilangan bulat positif

Tentu saja, obyek utama yang beroperasi aritmatika, - jumlah alam seperti 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... dll Aritmatika bilangan adalah hasil dari mengorbankan benda biasa, seperti sapi di padang rumput. Namun, definisi "banyak" atau "sedikit" ketika sesuatu telah berhenti untuk menahan orang, dan harus menemukan teknik penghitungan yang lebih canggih.

Namun terobosan nyata datang ketika pikiran manusia telah mencapai titik yang bisa menjadi satu dan nomor yang sama dari "dua" untuk menunjuk dan 2 kg, dan 2 batu bata dan 2 bagian. Fakta bahwa perlu untuk abstrak dari bentuk, karakteristik dan arti dari benda-benda, maka kita dapat menghasilkan beberapa tindakan dengan benda-benda tersebut dalam bentuk bilangan bulat positif. Maka lahirlah aritmatika angka, yang selanjutnya dikembangkan dan diperluas dalam menduduki posisi dalam masyarakat.

Seperti mendalam konsep jumlah, sebagai nol dan angka negatif, pecahan, nomor mengacu pada nomor dengan cara lain, memiliki sejarah yang kaya dan menarik dari pembangunan.

Aritmatika dan praktis Mesir

Dua pendamping manusia purba dalam studi dunia dan memecahkan masalah sehari-hari - aritmatika dan geometri.

Hal ini diyakini bahwa sejarah aritmatika memiliki asal-usul di Timur Kuno: India, Mesir, Babel dan Cina. Jadi, Rhind papyrus asal Mesir (dinamakan demikian karena nama yang sama milik pemilik), dating kembali ke abad XX. SM, selain data berharga lainnya termasuk perluasan sebagian kecil dalam jumlah fraksi dengan penyebut berbeda dan pembilang sama dengan satu.

Misalnya: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Tapi apa arti seperti dekomposisi kompleks? Fakta bahwa pendekatan Mesir tidak mentolerir disarikan berpikir tentang angka, sebaliknya, perhitungan dibuat hanya untuk tujuan praktis. Artinya, orang Mesir akan terlibat dalam bisnis seperti perhitungan, semata-mata dalam rangka membangun makam, misalnya. Hal itu perlu untuk menghitung panjang struktur fin, dan itu dibuat untuk seseorang untuk duduk papirus. Seperti dapat dilihat, kemajuan Mesir dalam perhitungan disebut, bukan besar, membangun, bukan cinta ilmu pengetahuan.

Untuk alasan ini, perhitungan ditemukan pada papirus, tidak bisa disebut refleksi tentang masalah fraksi. Kemungkinan besar, itu adalah persiapan praktis, yang membantu untuk lebih memecahkan masalah dengan fraksi. Mesir kuno tidak tahu tabel perkalian, menghasilkan perhitungan yang cukup panjang, menyebar ke banyak subtasks. Mungkin ini adalah salah satu subtasks. Sangat mudah untuk melihat bahwa perhitungan dengan kosong ini sangat memakan waktu dan tidak sangat menjanjikan. Mungkin untuk alasan ini kami tidak melihat kontribusi besar untuk pengembangan matematika Mesir kuno.

Yunani Kuno dan aritmatika filosofis

Banyak pengetahuan dari Timur Kuno berhasil dikuasai oleh orang Yunani kuno, dikenal penggemar refleksi abstrak, abstrak dan filosofis. Berlatih mereka tertarik tidak kurang tetapi teori terbaik dan pemikir sulit untuk menemukan. Itu baik untuk ilmu pengetahuan karena matematika tidak mungkin untuk pergi jauh, tidak merobek-robek itu dengan kenyataan. Tentu saja, adalah mungkin untuk memperbanyak 10 sapi dan 100 liter susu, tetapi tidak dapat bergerak jauh.

Yunani berpikir dalam-dalam meninggalkan tanda signifikan dalam sejarah, dan karya-karya mereka telah datang kepada kami:

• Euclid dan "Elemen".
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Dan, tentu saja, ternyata semua filsafat Yunani, dan terutama para pengikut kasus Pythagoras begitu bergairah tentang angka-angka, yang menganggap mereka harmoni misteri dunia. Angka-angka telah begitu mempelajari dan meneliti, bahwa beberapa dari mereka dan pasangan mereka dikaitkan sifat khusus. Sebagai contoh:

• angka sempurna - mereka yang jumlah semua pembagi nya kecuali jumlah itu sendiri (6 = 1 + 2 + 3).
• nomor ramah - angka-angka ini, salah satunya adalah jumlah dari semua pembagi dari versa kedua dan wakil (Pythagoras tahu hanya satu pasangan seperti: 220 dan 284).

Orang-orang Yunani, yang percaya bahwa ilmu pengetahuan harus dicintai, tidak bersamanya demi keuntungan, telah membuat langkah besar, menjelajahi, bermain dan menambahkan nomor. Perlu dicatat bahwa tidak semua penelitian mereka telah banyak digunakan, beberapa dari mereka hanya "untuk kecantikan."

pemikir Timur Abad Pertengahan

Demikian pula, di Abad Pertengahan aritmatika berutang perkembangannya ke sezaman timur. Indian memberi kami angka-angka yang kita aktif menggunakan hal itu sebagai "nol", dan variasi posisi sistem perhitungan, biasa persepsi modern. Dari Al-bubur, yang pada abad ke-15 bekerja di Samarkand, kita telah mewarisi desimal, tanpa yang sulit untuk membayangkan aritmatika modern.

Dalam banyak hal, Eropa berkenalan dengan prestasi Timur dimungkinkan berkat kerja dari ilmuwan Italia Leonardo Fibonacci, yang menulis sebuah buku "Liber Abaci", acquainting dengan inovasi oriental. Hal ini telah menjadi landasan pengembangan aljabar dan aritmatika, penelitian dan kegiatan ilmiah di Eropa.

aritmatika Rusia

Akhirnya, aritmatika, telah menemukan tempatnya dan berakar di Eropa, mulai menyebar di darat Rusia. Rusia terlebih aritmatika diterbitkan pada tahun 1703 - itu adalah sebuah buku tentang aritmatika Leontiya Magnitskogo. Untuk waktu yang lama itu satu-satunya tutorial dalam matematika. Ini berisi saat-saat awal aljabar dan geometri. Angka-angka yang digunakan dalam contoh buku teks pertama Rusia aritmatika, Arab. Meskipun angka Arab telah bertemu sebelumnya, di ukiran dating kembali ke abad ke-17.

Buku itu sendiri dihiasi dengan gambar Archimedes dan Pythagoras, dan di halaman pertama - aritmatika gambar sebagai seorang wanita. Dia duduk di atas takhta, di bawahnya tertulis dalam bahasa Ibrani untuk nama Allah, dan pada langkah-langkah yang mengarah ke altar, bertuliskan kata "divisi", "peningkatan", "Selain itu", dan sebagainya. D. Satu hanya bisa membayangkan apa nilai dikhianati kebenaran tersebut, yang sekarang dianggap biasa.

Buku teks dari 600 halaman menggambarkan sebagai dasar penambahan seperti dan tabel perkalian, dan aplikasi untuk ilmu navigasi.

Tidak mengherankan, penulis telah memilih gambar dari pemikir Yunani untuk bukunya, karena dia sendiri terpesona oleh keindahan aritmatika, mengatakan, "Aritmatika telah chislitelnitsa ada seni adil, nezavistnoe ...". Pendekatan ini untuk aritmatika baik didirikan, karena adopsi secara luas dapat dianggap sebagai awal perkembangan pesat dari pemikiran ilmiah di Rusia dan pendidikan umum.

bilangan prima gelisah

bilangan prima - itu adalah nomor alam, yang hanya 2 pembagi positif: 1 dan dirinya sendiri. Semua nomor lain, kecuali 1 disebut komposit. Contoh bilangan prima: 2, 3, 5, 7, 11, dan semua orang lain yang tidak pembagi selain 1 dan bilangan itu sendiri.

Adapun nomor 1, itu adalah pada premium - ada kesepakatan bahwa hal itu harus dipertimbangkan tidak mudah atau tidak majemuk. Sederhana pada pandangan pertama, sejumlah sederhana menyembunyikan banyak misteri yang belum terpecahkan dalam diri mereka.

Euclid teorema mengatakan bahwa jumlah tak terbatas bilangan prima, dan Eratosthenes datang dengan aritmatika "saringan" khusus, yang menghilangkan angka yang rumit, hanya menyisakan sederhana.

esensinya adalah untuk menekankan jumlah membatalkan penghapusan pertama, dan dalam mencolok berikutnya keluar orang-orang yang merupakan kelipatan dari itu. Kami ulangi prosedur ini beberapa kali - dan mendapatkan meja bilangan prima.

teorema dasar aritmatika

Di antara pengamatan tentang bilangan prima perlu khusus menyebutkan aritmatika teorema dasar.

Dasar aritmatika teorema menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih besar dari 1, atau sederhana atau dapat didekomposisi menjadi produk dari bilangan prima hingga urutan faktor pengulangan, satu-satunya cara.

teorema dasar aritmatika terbukti cukup rumit, dan memahami hal ini tidak seperti hanya dasar-dasar.

Pada pandangan pertama, bilangan prima - konsep dasar, tetapi tidak. Fisika juga pernah dianggap atom SD, sampai ia ditemukan di dalam alam semesta. Bilangan prima yang didedikasikan cerita matematika indah Don Zagier "The lima puluh juta bilangan prima pertama."

Dari "tiga apel" hukum deduktif

Yang benar-benar bisa disebut dasar diperkuat dari semua ilmu pengetahuan - hukum aritmatika. Bahkan sebagai seorang anak semua wajah aritmatika, mempelajari jumlah kaki dan tangan di boneka, jumlah kubus, apel dan sebagainya. D. Jadi kita mempelajari aritmatika, yang kemudian berkembang menjadi aturan yang lebih kompleks.

seluruh hidup kita memperkenalkan kita pada aturan aritmatika, yang untuk orang-orang biasa yang paling berguna dari semua ilmu yang memberikan. Studi tentang angka - itu adalah "Arithmetic-bayi", yang memperkenalkan pria ke dunia angka sebagai angka pada anak usia dini.

Arithmetic lebih tinggi - ilmu deduktif yang mempelajari hukum aritmatika. Sebagian besar dari mereka kita tahu, meskipun mungkin kita tidak tahu kata-kata yang tepat mereka.

Hukum penjumlahan dan perkalian

Setiap dua bilangan bulat a dan b dapat dinyatakan sebagai jumlah dari a + b, yang juga sejumlah alami. Mengenai Selain itu, undang-undang berikut:

• Komutatif, yang mengatakan bahwa permutasi dari istilah menempatkan jumlah tidak berubah, atau a + b = b + a.
• Asosiatif yang mengatakan jumlah tidak tergantung pada metode pengelompokan istilah di tempat, atau + (b + c) = (a + b) + c.

Aturan aritmatika, seperti penambahan, - salah satu dasar, tetapi mereka digunakan semua ilmu, belum lagi kehidupan sehari-hari.

Setiap dua bilangan bulat a dan b dapat dinyatakan dalam produk atau b * a * b, yang juga sejumlah alami. Untuk menerapkan produk hukum komutatif dan asosiatif yang sama untuk penambahan:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Sangat menarik bahwa ada hukum, yang menggabungkan penjumlahan dan perkalian, juga dikenal sebagai distribusi atau hukum distributif:

a (b + c) = ab + ac

Hukum ini mengajarkan kita untuk bekerja dengan kurung, membuka mereka, sehingga kita sudah bisa bekerja dengan formula yang lebih kompleks. Ini adalah hukum yang akan memimpin kita melalui dunia aneh tapi kompleks aljabar.

Hukum agar aritmatika

tentang hukum logika manusia menggunakan setiap hari, memeriksa jam tangannya dan menghitung tagihan. Dan, bagaimanapun, dan itu harus dibuat menjadi bahasa tertentu.

Jika kita memiliki dua bilangan bulat positif a dan b, maka pilihan berikut:

• adalah sama dengan b, atau a = b;
• kurang dari b, atau
• a lebih besar dari b, atau> b.

Dari tiga pilihan hanya bisa hanya satu. Undang-Undang Dasar, yang mengatur prosedur, mengatakan: jika

Ada juga hukum yang mengikat tindakan urutan penjumlahan dan perkalian: jika

Hukum aritmatika mengajarkan kita untuk bekerja dengan angka, tanda-tanda dan tanda kurung, mengubah segala sesuatu menjadi simfoni yang harmonis angka.

Sistem penomoran posisi dan nonpositional

Kita dapat mengatakan bahwa angka-angka - ini adalah bahasa matematika, dari kenyamanan yang tergantung pada banyak hal. Ada banyak sistem perhitungan, yang, seperti abjad bahasa yang berbeda berbeda.

Mempertimbangkan sistem nomor dari titik posisi berdampak pada nilai kuantitatif dari digit dalam posisi ini. Sebagai contoh, sistem Romawi adalah nonpositional mana setiap nomor dikodekan oleh serangkaian tertentu karakter khusus: I / V / X / L / C / D / M. Mereka, masing-masing, nomor 1/5/10/50/100/500 / 1000. Dalam sistem ini, angka tidak mengubah penentuan kuantitatif, tergantung pada apa posisi seharusnya: .. pertama, kedua, dll Untuk mendapatkan nomor lain, perlu untuk meletakkan dasar. Sebagai contoh:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Lebih akrab bagi kita sistem angka menggunakan angka Arab adalah posisi. Dalam sistem seperti jumlah debit mendefinisikan jumlah digit, misalnya, tiga digit angka: 333, 567, dll Berat dari setiap debit tergantung pada posisi yang sosok itu adalah satu atau yang lain, misalnya angka 8 di posisi kedua memiliki nilai 80. Hal ini khas untuk sistem desimal, ada sistem posisi lain seperti biner.

aritmatika biner

Kami adalah sistem desimal akrab, yang terdiri dari nomor tunggal-bit dan multi-bit. Angka di sebelah kiri dalam jumlah digit adalah sepuluh kali lebih besar pada pentingnya dengan yang di sebelah kanan. Jadi, kita digunakan untuk membaca 2, 17, 467, dan seterusnya. D. Ini adalah berbeda logika dan pendekatan bagian, yang disebut "aritmatika biner." Hal ini tidak mengherankan, karena aritmatika biner tidak diciptakan untuk logika manusia, dan untuk komputer. Jika aritmatika nomor berasal dari penghitungan, yang selanjutnya disarikan dari properti tunduk "telanjang" aritmatika, maka ini tidak akan bekerja dengan komputer Anda. Untuk dapat berbagi pengetahuan dengan komputer, seorang pria harus menciptakan perhitungan model yang.

aritmatika biner bekerja dengan alfabet biner, yang hanya terdiri dari 0 dan 1. Dan penggunaan alfabet ini disebut sistem biner.

Tidak seperti desimal aritmatika biner yang pentingnya posisi kiri tidak lagi 10, dan 2 kali. bilangan biner adalah dari bentuk 111, 1001 dan seterusnya. D. Bagaimana seharusnya kita memahami angka-angka ini? Dengan demikian, kita mempertimbangkan jumlah 1100

1. Angka pertama di sebelah kiri - 1 * 8 = 8, mengingat bahwa digit keempat, yang berarti bahwa itu harus dikalikan dengan 2, kita mendapatkan posisi 8.
2. Kedua digit 1 * 4 = 4 (posisi 4).
3. Ketiga digit 0 * 2 = 0 (posisi 2).
4. Keempat digit 0 * 1 = 0 (posisi 1).
5. Jadi nomor kami = 8 + 1100 4 + 0 + 0 = 12.

Artinya, transisi ke kategori baru di sebelah kiri maknanya dalam sistem biner dikalikan dengan 2 dan desimal - sampai 10. Sistem seperti memiliki satu kelemahan: itu adalah pertumbuhan terlalu besar bit yang diperlukan untuk merekam nomor. Contoh angka desimal dvochinyh seperti dapat dilihat pada tabel berikut.

angka desimal direpresentasikan dalam bentuk biner di bawah ini.

Hal ini juga digunakan oktal, dan sistem heksadesimal penomoran.

aritmatika misterius ini

Apa aritmatika, "dua ditambah dua" atau misteri yang belum dijelajahi angka? Seperti yang Anda lihat, aritmatika, bisa, dan tampaknya pada pandangan pertama sederhana, tetapi tidak jelas menipu kemudahan. Hal ini dimungkinkan untuk belajar anak-anak, dan bersama-sama dengan Bibi Owl dari kartun "Arithmetic-bayi", dan Anda bisa menyelam ke dalam penelitian ilmiah yang mendalam agar hampir filosofis. Dalam sejarah itu telah pergi dari menghitung objek untuk menyembah keindahan angka. Satu hal yang pasti: dengan pembentukan dalil-dalil dasar aritmatika, semua ilmu bisa mengandalkan bahu yang kuat.