Cara menghitung luas piramida: dasar, samping dan penuh?

Dalam persiapan untuk ujian pada siswa matematika harus sistematisasi pengetahuan tentang aljabar dan geometri. Saya ingin menggabungkan semua informasi yang diketahui, seperti bagaimana menghitung luas piramida. Selain itu, mulai dari bawah dan sisi wajah hingga luas permukaan seluruh. Jika posisi menghadap situasi jelas, karena mereka segitiga, dasar selalu berbeda.

Bagaimana menjadi ketika area dasar piramida?

Hal ini dapat cukup sosok apapun dari segitiga sewenang-wenang untuk n-gon itu. Dan dasar ini, kecuali perbedaan jumlah sudut, mungkin sosok yang benar atau salah. Dalam kepentingan tugas siswa pada ujian hanya ditemukan pekerjaan dengan angka yang benar di dasar. Oleh karena itu, kita hanya akan berbicara tentang mereka.

segitiga sama sisi

Itu sama sisi. Salah satu yang semua pihak adalah sama dan yang ditunjuk oleh huruf "a". Dalam hal ini, daerah dasar piramida dihitung dengan rumus:

S = ⁽² * √3) / 4.

persegi

rumus untuk menghitung luas adalah yang paling sederhana, adalah "a" - sisi lagi:

Dan S = ^2.

Sewenang-wenang biasa n-gon

Pada sisi poligon sebutan yang sama. Untuk jumlah sudut yang digunakan Latin huruf n.

S = (n * ²⁾ / (4 * tg (180-an / n)) .

Cara memasukkan dalam perhitungan luas permukaan lateral dan penuh?

Karena angka dasar benar, maka semua wajah piramida adalah sama. Yang masing-masing merupakan segitiga sama kaki, karena ujung-ujungnya sisi adalah sama. Kemudian, untuk menghitung luas sisi piramida membutuhkan susu formula yang terdiri dari jumlah monomials identik. Jumlah istilah ditentukan oleh jumlah sisi dasar.

Luas segitiga sama kaki dihitung dengan rumus di mana setengah dari produk dasar dikalikan dengan ketinggian. tinggi dalam piramida ini disebut apotema. Its penunjukan - "A". Rumus umum untuk daerah permukaan lateral adalah sebagai berikut:

S = ½ P * A, di mana P - perimeter dasar piramida.

Ada saat-saat itu tidak diketahui ke sisi dasar, tapi ujung-ujungnya samping (a) datar dan sudut di puncak (α). Kemudian hal itu bergantung menggunakan rumus berikut untuk menghitung luas lateral piramida:

S = n / 2 sampai ² * sin α.

Tugas № 1

Kondisi. Cari total luas piramida, jika dasarnya adalah segitiga sama sisi dengan sisi 4 cm dan memiliki nilai √3 Apotema cm.

Keputusan. Ini harus dimulai dengan perhitungan dasar perimeter. Karena ini adalah segitiga teratur, maka P = 3 * 4 = 12 cm Apotema Seperti diketahui, salah satu dapat segera menghitung luas permukaan lateral seluruh :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Untuk mendapatkan dasar segitiga adalah nilai daerah (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Untuk menentukan seluruh area perlu lipat dua nilai yang dihasilkan: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Jawaban. 10√3 ^cm2.

Soal № 2

Kondisi. Ada segi empat piramida biasa. Panjang dasar adalah sama dengan 7 mm, tepi lateral - 16 mm. Anda perlu tahu daerah permukaannya.

Keputusan. Karena polyhedron - persegi panjang dan benar, pada dasarnya adalah persegi. Mendengar daerah basis dan sisi lateral yang dapat menghitung piramida persegi. Rumus untuk alun-alun diberikan di atas. Dan aku tahu semua wajah sisi segitiga. Oleh karena itu, Anda dapat menggunakan rumus Heron untuk menghitung daerah mereka.

Perhitungan pertama yang sederhana dan mengarah ke nomor ini: 49 mm ^2. Untuk menghitung nilai kedua butuhkan semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sekarang kita dapat menghitung luas segitiga sama kaki: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 mm ^2. Ada empat segitiga, jadi ketika menghitung angka-angka akhir akan perlu dikalikan dengan 4.

Diperoleh: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Jawaban. 267,576 nilai yang diinginkan dari ² mm.

Tugas № 3

Kondisi. Pada piramida berbentuk segi empat biasa diperlukan untuk menghitung daerah. Hal ini diketahui sisi alun-alun - 6 cm dan tinggi - 4 cm.

Keputusan. Cara termudah untuk menggunakan rumus untuk produk dari perimeter dan apotema. Nilai pertama ditemukan hanya. Kedua sedikit lebih keras.

Kita harus ingat teorema Pythagoras dan mempertimbangkan segitiga siku-siku. Hal ini dibentuk oleh ketinggian piramida dan apotema, yang merupakan sisi miring. Leg kedua adalah setengah sisi alun-alun, sebagai tinggi polyhedron jatuh di tengah-tengah itu.

Disukai apotema (sisi miring dari segitiga siku-siku) sama dengan √ (3 ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Sekarang adalah mungkin untuk menghitung nilai yang diinginkan: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Jawaban. 96 cm ^2.

Soal № 4

Kondisi. Dana rutin piramida heksagonal. Sisi basisnya sama dengan 22 mm, tepi lateral yang - 61 mm. Apa adalah luas dari permukaan lateral polyhedron ini?

Keputusan. Alasan di dalamnya adalah sama seperti yang dijelaskan dalam tugas №2. Hanya piramida diberikan di sana untuk alun-alun di dasar, dan sekarang itu adalah segi enam.

Langkah pertama dihitung dengan daerah basis dari rumus di atas ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180-an / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Sekarang Anda perlu menemukan setengah perimeter segitiga sama kaki, yang merupakan muka sisi. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 tetap pada rumus Heron untuk menghitung luas masing-masing segitiga, dan kemudian kalikan dengan enam kali lipat dan salah satu yang ternyata dasar.

Perhitungan rumus Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 cm ^2. Perhitungan yang akan memberikan lateral yang luas permukaan: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Masih untuk menambahkan mereka untuk mengetahui seluruh permukaan: 5217,47≈5217 cm ^2.

Jawaban. Grounds - 726√3 cm ^2, permukaan sisi - 3960 cm ^2, seluruh wilayah - 5217 cm ^2.